On the minimum edge cover and vertex partition by quasi-cliques problems

A γ-quasi-clique in a simple undirected graph is a set of vertices which induces a subgraph with the edge density of at least γ for 0 < γ < 1. A cover of a graph by γ-quasi-cliques is a set of γ-quasi-cliques where each edge of the graph is contained in at least one quasi-clique. The minimum cover by γ-quasi-cliques problem asks for a γ-quasi-clique cover with the minimum number of quasi-cliques. A partition of a graph by γ-quasi-cliques is a set of γ-quasi-cliques where each vertex of the graph belongs to exactly one quasi-clique. The minimum partition by γ-quasicliques problem asks for a vertex partition by γ-quasi-cliques with the minimum number of quasicliques. We show that the decision versions of the minimum cover and partition by γ-quasi-cliques problems are NP-complete for any fixed γ satisfying 0 < γ < 1. Key-words: clique, quasi-clique, edge cover, vertex partition, undirected graph ∗ College of Computing (GATECH) Georgia Institute of Technology (Georgia Tech), Atlanta, GA † Department of Computer Engineering, Bilkent University, Ankara, Turkey ‡ CNRS and LIP, ENS Lyon, France ha l-0 07 95 42 9, v er si on 2 5 M ar 2 01 3 Sur les problèmes de la couverture minimale des arêtes et de la partition minimale des sommets d’un graphe par des quasi-cliques Résumé : Un γ-quasi-clique, pour 0 < γ < 1, dans un graphe simple nonorienté est un sous-ensemble de sommets dont le sous-graphe induit a une densité d’arêtes supérieure ou égale à γ. Un ensemble de γ-quasi-cliques couvrant toutes les arêtes d’un graphe est appelé une couverture par des γ-quasi-cliques. Le problème de couverture minimale par des γ-quasi-cliques consiste à trouver une couverture par des γ-quasi-cliques ayant le plus petit nombre de quasi-cliques. Une partition des sommets d’un graphe par des quasi-cliques est un ensemble de γ-quasi-cliques telle que chaque sommet du graphe appartient à un seul quasi-clique de l’ensemble. Le problème de partition minimale par des γ-quasicliques consiste à trouver une partition par des γ-quasi-cliques ayant le plus petit nombre de quasi-cliques. Nous démontrons que les problèmes de décision associés aux problèmes de couverture minimale et partition minimale par des γ-quasi-cliques sont NP-complets pour tout γ satisfaisant 0 < γ < 1 fixé. Mots-clés : clique, quasi-clique, couverture des arêtes, partition des sommets, graphe nonorienté ha l-0 07 95 42 9, v er si on 2 5 M ar 2 01 3 Minimum covering and partitioning by quasi-cliques 3